เหตุใดวิธีการอื่นในการคำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์ไม่ทำงาน

Gregor Perčič 12/24/2017. 3 answers, 590 views
vectors

การออกกำลังกายเป็นเช่น: ระบุว่า $ | \ vec {a} | = 3 $, $ | \ vec {b} | = 2 $ และ $ \ varphi = 60 ^ {\ circ} $ (มุมระหว่างเวกเตอร์ $ \ vec {a} $ และ $ \ vec {b} $), calcluate scalar product $ (\ vec {a} +2 \ vec {b}) \ cdot (2 \ vec {a} - \ vec {b}) $

ความคิดแรกของฉันคือการแก้ปัญหาของผลิตภัณฑ์ที่ขอโดยการ "ผสาน" เศษที่คำนวณแยกกันและจากนั้นทำตาม definition ของผลิตภัณฑ์สเกลาซึ่งก็คือ

$$ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = | \ vec {a} | \ cdot | \ vec {b} | \ cdot \ cos \ varphi. $$

ผ่านการสังเกตการณ์

$$ \ vec {a} \ cdot \ vec {a} = | \ vec {a} | \ cdot | \ vec {a} | \ cdot \ cos0 ^ {\ circ} = | \ vec {a} | ^ 2 \ Longrightarrow | \ vec {a} | = \ sqrt {\ vec {a} \ cdot \ vec {a}} $$

เราสามารถหาค่าของ $ | \ vec {a} +2 \ vec {b} | $ และ $ | 2 \ vec {a} - \ vec {b} | $ ( mind the notation: $ a ^ 2 $ ในนี้ กรณีแสดงถึง $ a ^ 2 = | \ vec {a} | ^ 2 $ และ $ b ^ 2 = | \ vec {b} | ^ 2 $):

\ begin {align *} | \ vec {a} +2 \ vec {b} | & = \ sqrt {(\ vec {a} +2 \ vec {b}) \ cdot (\ vec {a} +2 \ vec {b}) = \ sqrt {a ^ 2 + 4 | \ vec {a } | \ cdot | \ vec {b} | \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ} + b ^ 2} = \\ & = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot \ frac {1} {2} + 2 ^ 2} = 5. \ end {align *}

ในทำนองเดียวกัน

\ begin {align *} | 2 \ vec {a} - \ vec {b} | = \ sqrt {4a ^ 2 - 4 | \ vec {a และ - } | \ cdot | \ vec {b} | \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ} + b ^ 2} = \\ & = \ sqrt {4 \ cdot 3 ^ 2 - 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot \ frac {1} {2} + 2 ^ 2} = 2 \ sqrt {7} \ end {จัด *}

ตอนนี้เราเสียบทั้งสองผล:

$$ (\ vec {a} + 2 \ vec {b}) \ cdot (2 \ vec {a} - \ vec {b}) = | \ vec {a} + 2 \ vec {b} | \ cdot | 2 \ vec {a} - \ vec {b} | \ cdot \ cos60 ^ {\ circ} = 5 \ cdot 2 \ sqrt {7} \ cdot \ frac {1} {2} = 5 \ sqrt {7}. $$

อย่างไรก็ตามนี่ not ทางออกที่ถูกต้องตามตำราของฉัน ผลลัพธ์ที่ถูกต้องคือ $ 19 $ ฉันคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้เล็กน้อยและใช้เส้นทางอื่น:

\ begin {align *} (\ vec {a} + 2 \ vec {b}) \ cdot (2 \ vec {a} - \ vec {b}) & = \ vec {a} \ cdot 2 \ vec {a vec {b} - \ vec {a} \ cdot \ vec {b} + 4 \ vec {a} - | \ vec {a} | \ cdot | \ vec {b} | \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ} + 4 | \ vec {a} | \ cdot | \ vec {b} | \ cdot \ cos 60 ^ {\ circ} - 2b ^ 2 = \\ & = 2 \ cdot 3 ^ 2 - 3 \ cdot 2 \ cdot \ frac {1} {2} + 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot \ frac {1} {2} - 2 \ cdot 2 ^ 2 = 19. \ end {align *}

วิธีที่สองทำงานอย่างชัดเจนในขณะที่คนแรกล้มเหลวอย่างน่าสังเวช แต่คำถามของฉันคือ why did my first approach fail? ฉันได้รับผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเมื่อคำนวณ $ | \ vec {a} +2 \ vec {b} | $ และ $ | 2 \ vec {a} - \ vec {b} | $? ฉันไม่รู้. โปรดช่วยฉันเข้าใจความผิดพลาดของฉัน ขอบคุณล่วงหน้า.

3 Answers


PM. 12/24/2017.

หมายเหตุ $$ 2 \ vec {b} \ cdot 2 \ vec {b} = 4b ^ 2 $$ เปรียบเทียบค่านี้กับสิ่งที่คุณมีในวิธีแรกเมื่อคำนวณ $$ | \ vec {a} +2 \ vec {b} | $$

5 comments
Gregor Perčič 12/24/2017
โอ่โถง ตอนนี้ฉันมีทางออกที่เหมาะสมแล้ว ขอบคุณและอีกสองคนที่ชี้ให้เห็นความผิดพลาดของฉันในสัญชาติญาณ
1 David K 12/24/2017
นี่เป็นข้อผิดพลาดในการคำนวณ แต่ฉันคิดว่าข้อผิดพลาดที่ชี้ให้เห็นโดยคำตอบอื่น ๆ เป็นพื้นฐานมากขึ้นเพราะแสดงให้เห็นว่าความ idea ทั้งหมดของสิ่งที่คุณกำลังพยายามทำอยู่ที่นี่ผิด ลองวาง $ 4b ^ 2 $ แทน $ b ^ 2 $ ในการคำนวณ $ | \ vec {a} +2 \ vec {b} | $ และดูว่าคุณคิดคำตอบที่ถูกต้องหรือไม่
PM. 12/24/2017
@DavidK ใช่นั่นเป็นสิ่งสำคัญจริงๆ
Gregor Perčič 12/24/2017
@ DavidK ฉันได้ขอบคุณและ upvoted สองคนอื่น ๆ สำหรับชี้ความผิดพลาดของฉันในสัญชาตญาณ; เนื่องจากคนสองคนทำมันผมไม่มีทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการติเตียนกับคำตอบที่ชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดใหม่ ๆ
David K 12/24/2017
คุณ did รับทราบสองคำตอบอื่นในความคิดเห็นของคุณ (ตามที่เพิ่งสังเกตเห็น - ความผิดพลาดในการอ่านหนังสือเร็วเกินไปในครั้งแรก) ฉันคิดว่าช่วงครึ่งหลังของความคิดเห็นของฉันไม่จำเป็นต้องเสียใจ!

Ross Millikan 12/24/2017.

ในวิธีแรกคุณถือว่าตอนท้ายว่ามุมระหว่าง $ \ vec {(a + 2b)} $ และ $ \ vec {(2a-b)} $ เป็น $ 60 ^ \ circ $ ถ้าคุณกำลังจะทำวิธีนี้คุณจะต้องมีมุมระหว่างพวกเขาแทน $ \ cos 60 ^ \ circ $ สำหรับบรรทัดสุดท้าย


AsBk3397 12/24/2017.

ฉันคิดว่ามันล้มเหลวเพราะที่นี่

$ (\ vec {a} + 2 \ vec {b}) \ cdot (2 \ vec {a} - \ vec {b}) = | \ vec {a} + 2 \ vec {b} | \ cdot | 2 \ vec {a} - \ vec {b} | \ cdot \ cos60 ^ {\ circ} = 5 \ cdot 2 \ sqrt {7} \ cdot \ frac {1} {2} = 5 \ sqrt {7} $

คุณสมมติว่ามุมระหว่างเวกเตอร์ $ (\ vec {a} + 2 \ vec {b}) $ และ $ (2 \ vec {a} - \ vec {b}) $ เป็น $ 60 ^ \ circ $ แต่อาจ ไม่ได้ (และเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่)


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 Alan Walker

Diamond Heart flac

Alan Walker. 2018. Writer: Alan Walker;Sophia Somajo;Mood Melodies;James Njie;Thomas Troelsen;Kristoffer Haugan;Edvard Normann;Anders Froen;Gunnar Greve;Yann Bargain;Victor Verpillat;Fredrik Borch Olsen.
2 Sia

I'm Still Here flac

Sia. 2018. Writer: Sia.
3 Cardi B

Taki Taki flac

Cardi B. 2018. Writer: Bava;Juan Vasquez;Vicente Saavedra;Jordan Thorpe;DJ Snake;Ozuna;Cardi B;Selena Gomez.
4 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
5 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
6 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
7 Bradley Cooper

Shallow flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Andrew Wyatt;Anthony Rossomando;Mark Ronson;Lady Gaga.
8 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
9 Kelsea Ballerini

This Feeling flac

Kelsea Ballerini. 2018. Writer: Andrew Taggart;Alex Pall;Emily Warren.
10 Mako

Rise flac

Mako. 2018. Writer: Riot Music Team;Mako;Justin Tranter.
11 Dewain Whitmore

Burn Out flac

Dewain Whitmore. 2018. Writer: Dewain Whitmore;Ilsey Juber;Emilio Behr;Martijn Garritsen.
12 Avril Lavigne

Head Above Water flac

Avril Lavigne. 2018. Writer: Stephan Moccio;Travis Clark;Avril Lavigne.
13 Khalid

Better flac

Khalid. 2018. Writer: Charlie Handsome;Jamil Chammas;Denis Kosiak;Tor Erik Hermansen;Mikkel Stoleer Eriksen;Khalid.
14 Lady Gaga

Look What I Found flac

Lady Gaga. 2018. Writer: DJ White Shadow;Nick Monson;Mark Nilan Jr;Lady Gaga.
15 Deep Chills

Run Free flac

Deep Chills. 2018.
16 Dynoro

In My Mind flac

Dynoro. 2018. Writer: Georgi Kay;Feenixpawl;Ivan Gough.
17 Charli XCX

1999 flac

Charli XCX. 2018. Writer: Charli XCX;Troye Sivan;Leland;Oscar Holter;Noonie Bao.
18 NCT 127

Regular (English Version) flac

NCT 127. 2018.
19 Lukas Graham

Love Someone flac

Lukas Graham. 2018. Writer: Don Stefano;Morten "Rissi" Ristorp;Morten "Pilo" Pilegaard;Jaramye Daniels;James Alan;David LaBrel;Lukas Forchhammer Graham.
20 Rita Ora

Let You Love Me flac

Rita Ora. 2018. Writer: Rita Ora.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags