ความดันในเมตริกซ์ความเครียด?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
fluid-dynamics pressure definition stress-energy-momentum-tensor stress-strain

เมตริกซ์ความเครียดสามารถเขียนเป็น: $$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} + \ sigma '_ {ij} \ label {1} ​​\ tag {1} $$ where $ \ sigma_ {ij} '$' เรียกว่าเมตริกซ์ความเค้นพิเศษ

จากสิ่งที่ฉันเข้าใจความกดดันคือความดันเป็นแรงต่อหน่วยพื้นที่เพื่อให้แรงที่กระทำบนพื้นผิว $ d \ vec A $ จะได้รับโดย: $$ \ vec F = -pd \ vec A \ label {2} \ tag { 2} $$ (ซึ่งมีผลต่อแรงบนพื้นผิวที่ผอมบาง ๆ เนื่องจากความดันอย่างต่อเนื่องเป็นศูนย์) อย่างไรก็ตาม $ \ sigma_ {ij} $ แสดงแรงในทิศทาง $ i $ บนพื้นผิวที่ปกติในทิศทาง $ \ hat e_j $ ดังนั้นแรงที่กระทำบนพื้นผิว $ d \ vec A $ ต้องเป็น: $ F_i = \ sigma_ {ij} dA_j \ label {3} \ tag {3} $$ สมการ (2) และ (3) เห็นได้ชัดว่าไม่เห็นด้วย (แม้ว่าเราจะดู soley ที่บังคับใน $ d \ vec A $ ทิศทางที่พวกเขาไม่เห็นด้วย) ดังนั้นคำถามของฉันคือความหมายที่แท้จริงของความกดดันในการแสดงออก (1) และทำไมเราไม่มี: $$ \ sigma_ {ii} = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

ในกรอบปกติของกลศาสตร์ต่อเนื่องสันนิษฐานว่ามีสองประเภทของแรง: กำลังของร่างกายและแรงผิว หลังสามารถแสดงให้เห็นว่าสามารถเป็นตัวแทนได้โดย tensor $ \ textbf {T} $, tensor ความเครียด Cauchy เมตริกซ์นี้ทำให้เกิดความเค้นในพื้นที่บนพื้นผิวโดย: $$ \ vec F = \ textbf {T} d \ vec A $$ เราสามารถสลายตัวเมตริกซ์ความเค้นแบบ Cauchy เข้าสู่การรับแรงกดดัน isotropic และผลกระทบของความเครียด (ซึ่งเราต้องมี constitutive สมการสำหรับ): $$ \ textbf {T} = \ tau -p \ textbf {1} $$ ดังนั้นสมการของคุณ (3) ถูกต้อง สมการของคุณ (2) ช่วยให้คุณมีส่วนร่วมกับแรงบนพื้นผิว แต่ไม่รวมกำลัง


Deep 10/15/2016.

ในกลศาสตร์ของไหลความเครียดเมตริกซ์ \ sigma_ {ij} $ เป็นจำนวนหลัก ความดันถูกกำหนดโดยสมการ (1) ที่กล่าวถึงในคำถามของคุณ เห็นได้ชัดว่า $ -p \ equiv \ frac {1} {3} \ sigma_ {ii} $ ($ \ sigma '_ {ij} $ เป็นไปตามนิยาม) กล่าวอีกนัยหนึ่งความกดดันถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยของความเค้นปกติบนเครื่องบินสามฉากผ่านจุดที่คำนวณแรงโน้มถ่วงความเครียด ความดันที่กำหนดด้วยวิธีนี้เรียกว่าแรงกดดันทางกล เมื่อตีความหมายสมการ (2) ที่กล่าวถึงในคำถามของคุณจะไม่ถูกต้องโดยทั่วไป สมการ (3) ที่กล่าวถึงในคำถามของคุณคือสูตรที่ถูกต้องในการคำนวณแรงสุทธิบนองค์ประกอบของของเหลวในทิศทาง $ i $

พูดอย่างเคร่งครัดสมการ (2) ที่กล่าวถึงในคำถามของคุณจะใช้เฉพาะในสถิตศาสตร์ของไหลเพราะแล้ว $ \ sigma '_ {ij} = 0 $ และดังนั้น $ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} $, ซึ่งหมายความว่าความเครียดปกติจะเหมือนกันในทุกทิศทางและสมการจึง (2) กลายเป็นโปร่งใส อย่างไรก็ตามผู้คนถือว่าค่าเฉลี่ยนี้เท่ากับความดันอุณหพลศาสตร์เมื่อใช้ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหพลศาสตร์สมดุลกับการไหล ถ้าประมาณนี้ทำแล้วในสมการประมาณว่า (2) อาจจะใช้กับกระแส ตัวอย่างเช่นถ้าบอลลูนกำลังพองตัวการไหลภายในบอลลูนจะมีความซับซ้อน อย่างไรก็ตามหากอุณหภูมิภายในบอลลูนมีความสม่ำเสมอและถ้าสมการของก๊าซในอุดมคติเป็นไปได้คุณอาจคำนวณความดัน (อุณหพลศาสตร์) ที่ผนังด้านในของบอลลูนและแสร้งทำเป็นว่านี่เป็นความดันที่ปรากฏในสมการของ Navier-Stokes (ซึ่งก็คือ ความดันที่กำหนดโดยสมการ (1))

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags