"ความดันในจุด" ความละเอียดแม่นยำคืออะไร?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

ฉันอ่าน Landau's Fluid Mechanics และในหน้าแรกกำหนดความดันในแต่ละจุดและทุกครั้ง: $ p = p (x, y, z, t) $ ทุกจุด "" $ (x, y, z) $ เป็นปริมาตรที่แตกต่างกันเล็กน้อยเช่น $ dV $ เช่นกล่องสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่มีขนาดเท่ากับ $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) ซึ่งมีอนุภาคจำนวนมาก

ความดัน $ p $ เป็นสมบัติมีสมบัติที่ $ \ oint_S p \ dS $ เป็นแรงภายนอกทั้งหมดเหนือพื้นผิวใด ๆ $ S $ แสดงให้เห็นว่าแรงดันถูกกำหนดให้เป็นแรงภายนอกทั้งหมดบนพื้นผิวของ dV ขนาดเล็กแบ่งค่าของพื้นผิวของมัน ตัวอย่างเช่นถ้าเราใช้กำลังกับทุกหน้าของกล่องขนาด $ a, b, c $:

กล่องเล็ก ๆ และกองกำลัง

จากนั้นความดันเหนือกล่องนี้คือ: \ begin {equation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y-} + F_ {z +} + F_ {z-} } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

ตอนนี้ตัวอย่างเช่นถ้าฉันมีกล่องขนาดใหญ่ขนาด $ L $, $ 2L $, $ 2L $ และเหนือกล่องนี้เป็นกองกำลังภายนอก $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $ พยายามบีบอัดกล่องนี้และ กล่องไม่เคลื่อนที่จากนั้นแรงภายนอกทั้งหมดที่ใช้กับกล่องคือ $ 2 (F_x + F_y + F_z) $ สมมุติว่ากำลังกระจายสม่ำเสมอทั่วใบหน้า

ใส่คำอธิบายภาพที่นี่

ตอนนี้ขอคำนวณค่าความดันแบบรวมของพื้นผิวของกล่องนี้ (ต้องเป็น $ 2 (F_x + F_y + F_z) $) เมื่อต้องการทำเช่นนี้เราสามารถแบ่งกล่องในก้อนเล็ก ๆ ของปริมาตรได้ $ L ^ 3 / n ^ 3 $ แรงที่อยู่เหนือใบหน้าทั้งสองด้านของมุมฉากจะอยู่ที่ $ x $ แกนคือ $ F_x / 4n ^ 2 $ และแรงเหนือใบหน้าที่ตั้งฉากกับแกน $ y $ คือ $ F_y / 2n ^ 2 $ เช่นเดียวกับแรงเหนือ ใบหน้าที่ตั้งฉากกับแกน $ z $ คือ $ F_z / 2n ^ 2 $

จากนั้นดันผ่านแต่ละก้อนเล็กของปริมาณ $ L ^ 3 / n ^ 3 $ คือ: \ begin \ {f_ {}} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {equation}

การละเลยขอบและจุดยอดเราสามารถประมาณความสัมพันธ์ของพื้นผิวแรงกดได้โดยใช้จำนวนก้อนทั้งหมดบนพื้นผิว แต่ขอบและคูณด้วย $ p_0 $ (2n-2) ^ 2 $ ก้อนดังกล่าวบนพื้นผิวทั้งสองที่มีผิวหน้า $ 4L ^ 2 $ และ $ (2n-2) (n-2) $ บนพื้นผิวทั้งสี่ที่เหลืออยู่ของพื้นผิว $ 2L ^ $ 2 ให้ $ S $ เป็นพื้นผิวของกล่องขนาดใหญ่ ให้ $ \ Delta S $ เป็นผิวหน้าของก้อนเล็ก ๆ ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $)

\ begin {equation} \ oint_S p \ dS \ approx \ left (2 (n-2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) p_0 \ Delta S = \ left (2 (n- 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac {L ^ 2} {n ^ 2} = \ frac {4} {3} \ frac {3n ^ 2- 8n + 5} {n ^ 2} \ left (\ frac {F_x} {4} + \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z} {2} \ right) \ end {equation}

การ จำกัด เป็น $ n \ rightarrow \ infty $ และพิจารณาว่าขอบไม่สำคัญสำหรับการรวมพื้นผิว:

\ begin {equation} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {equation}

แต่นี่ไม่สามารถแก้ไขได้เพราะกำลังเหนือผิวน้ำคือ $ 2 (F_x + F_y + F_z) $ ฉันไม่เข้าใจจริงๆว่ามีอะไรผิดพลาด มันเป็นความหมายของความดัน? หรือมันคือการผสมผสานหรือไม่?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

ในหนังสือเล่มนี้กล่าวว่าปริมาณ $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ เป็นกำลังรวม ถ้าคุณสังเกตเห็น $ \ mathrm d \ mathbf f $ เป็นตัวหนาคุณจะเห็นว่ามันเป็นเวกเตอร์และเป็นหลักหมายความว่าส่วนประกอบที่เป็นส่วนประกอบเสร็จสมบูรณ์ดังนั้นการคำนวณของคุณจึงไม่สามารถใช้งานได้ ตัวอย่างเช่น $$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac {dS} {bc} = F_ {x +} $ $ และเช่นเดียวกันสำหรับส่วนประกอบอื่น ๆ ในตัวอย่างนี้ dS ไม่ใช่เวกเตอร์ อย่างที่คุณเห็นคุณเรียกค้นส่วนประกอบเดิมเสมอ

สำหรับคำจำกัดความที่แม่นยำมันเป็นค่าคงที่ของสัดส่วนระหว่างเวกเตอร์ $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, องค์ประกอบปกติของ $ \ mathrm d \ mathbf F $ ในพื้นผิวและ $ \ mathrm d \ mathbf S $ หมายเหตุมันกำหนดไว้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดเป็นพาหะเหล่านี้โดยทั่วไปเป็นหน้าที่ของตำแหน่ง


Farcher 01/03/2017.

ปัญหาของคุณเริ่มต้นเมื่อคุณเริ่มต้นการรักษากองกำลังและพื้นที่เป็นสเกลาร์

จากนั้นความดันเหนือกล่องนี้คือ:

\ begin {equation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + F_ {z -}} {2ab + 2bc + 2ca} \ end {} สม

ไม่ถูกต้อง

คุณจำเป็นต้องใช้รูปแบบเวกเตอร์ของสมการที่ให้แรงในพื้นที่ตามที่อธิบายไว้ในบทความ Wikipedia เกี่ยวกับ ความดัน

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags