นิยามโมเมนตัมคอนจูเกตใน QFT

Piotr 05/28/2017. 2 answers, 372 views
quantum-field-theory momentum definition

บันทึกการบรรยายของฉันกำหนดโมเมนตัม conjugate ของเขตข้อมูล Scalar ผ่านทาง:

$$ \ pi = \ dot {\ psi} $$

ที่ไหน

$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ left (a_p e ^ {i \ vec {p} \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

และอ้างว่าให้

$$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ left (a_p e ^ {i \ vec p \ cdot \ vec x} + a_p ^ \ dagger e ^ {- i \ vec p \ cdot \ vec x} \ right) $$

ขณะทำงานในภาพ Schodinger แต่อย่างชัดเจน $ \ psi $ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา ฉันคิดถูกต้องหรือไม่ว่าสิ่งที่กล่าวไว้ในบันทึกการบรรยายของฉันไม่ถูกต้องและเป็นความหมาย

$$ \ pi = \ dot {\ psi} $$

สามารถใช้ได้เฉพาะในภาพ Heisenberg เท่านั้น? และเพื่อให้ได้ข้อความข้างต้นซึ่งอยู่ในภาพของ Schrodinger จำเป็นต้องใช้การแสดงภาพไฮเซนเบิร์ก:

$ \ psi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ frac {1} {\ sqrt {2E_p}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

$ \ pi = \ int \ frac {d ^ 3p} {(2 \ pi) ^ {3}} \ sqrt {\ frac {E_p} {2}} \ left (a_p e ^ {- ip \ cdot x} + a_p ^ \ dagger e ^ {ip \ cdot x} \ right) $$

(ตอนนี้ฉันใช้สัญกรณ์แบบเวกเตอร์ 4 ตัว) แล้วเปลี่ยนเป็นภาพ Schrodinger?

2 Answers


user1620696 05/28/2017.

แรกลืม QFT ชั่วขณะหนึ่งและคิดถึงทฤษฎีฟิลด์คลาสสิก พิจารณาสาขา Klein-Gordon อย่างแม่นยำมากขึ้น Lagrangian ของมันคือ

$$ \ mathcal {L} (\ phi, \ partial_ \ mu \ phi) = \ dfrac {1} {2} \ partial ^ \ mu \ partial_ \ mu \ phi- \ dfrac {1} {2} ม ^ 2 \ พี ^ 2 $$

ในลากรองจ์นี้ variable คือ $ \ phi $ เนื่องจาก $ \ phi $ เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ใน spacetime $ \ phi $ ขึ้นอยู่กับเวลาโดยเฉพาะและคุณสามารถคำนวณได้ในเฟรมอ้างอิง $ \ dot {\ phi} = \ partial_0 \ phi $

หนึ่งแล้ว defines โมเมนตัม conjugate เช่นเดียวกับในกลศาสตร์คลาสสิกให้เป็น

$$ \ pi = \ dfrac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial (\ partial_0 \ phi)}. $$

สำหรับฟิลด์นี้เราได้อะไรบ้าง หากคุณทำงานนี้คุณจะพบ $ \ pi = \ dot {\ phi} $

ทั้งหมดนี้เป็นแบบฉบับ จากนั้นด้วยมือนี้คุณสามารถ quantize

หลังจากทั้งหมด quantizing ฟิลด์หมายความว่าคุณต้องการเปิด $ \ phi, \ pi $ เป็นผู้ประกอบการเชื่อฟัง

$$ [\ พี (x) \ พี (y)] = [\ ปี่ (x) \ ปี่ (y)] = 0 $$

$$ [\ พี (x) \ ปี่ (y)] = i \ เดลต้า (XY). $$

ดังนั้นคุณต้อง $ \ pi $ เพื่อพูดถึง quantization เช่นเดียวกับกลศาสตร์ควอนตัมคุณต้องมีทั้งตำแหน่งและโมเมนตัมในการกำหนดความสัมพันธ์แบบเปลี่ยนรูปบัญญัติ

โดยวิธีการที่มีรายละเอียดเล็ก ๆ ความสัมพันธ์ในการเปลี่ยนจะถูกถ่ายในเวลาที่เท่ากัน ในกรณีที่พวกเขาอยู่ในหมู่ผู้ประกอบการภาพ Schrodinger $ \ phi (\ mathbf {x}), \ pi (\ mathbf {y}) $ เพราะพวกเขาถูกกำหนดไว้ในเวลาเดียวกัน

ดังนั้นถ้าคุณต้องการคำนวณ $ \ pi $ จาก $ \ phi $ คุณสามารถทำแบบคลาสสิกจากนั้นกำหนดความสัมพันธ์ในการเปลี่ยนรูปแบบบัญญัติหรือคุณสามารถทำในภาพ Heisenberg และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน

Edit: การสลายตัวของโหมดสามารถทำได้ในทฤษฎีสนามคลาสสิก, สิ่งเดียวคือค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข สมการของการเคลื่อนที่คือ

$$ (\ Box + m ^ 2) \ phi = 0 $$

ใช้การแปลงฟูริเยร์ในตัวแปรเชิงพื้นที่เพื่อแสดงถึงการแปลงฟูริเยร์โดย $ \ hat {\ phi} $ คุณมี

$$ \ partial ^ 2_t \ hat {\ phi} + (| \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2) \ hat {\ phi} = 0 $$

define $ \ omega_ {p} ^ 2 = | \ mathbf {p} | ^ 2 + m ^ 2 $ และ $ p = (\ omega_p, \ mathbf {p}) $. สมการเป็น parametrized โดย $ \ mathbf {p} $ และสามารถแก้ไขได้อย่างง่ายดายเพื่อให้

$$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_p ^ ^ - {i \ omega_p t} $$

ตอนนี้ใช้เงื่อนไขความเป็นจริงของการแปลงฟูริเยร์

$$ \ hat {\ พี} (- \ mathbf {p} t) = \ hat {\ พี} (\ mathbf {p} t) ^ \ AST $$.

คุณมาถึงสภาพ

$ a _ {- \ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega_p t} + b _ {- \ mathbf {p}} e ^ {i \ omega_p t} = a {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} + b _ {\ mathbf {p}} ^ \ ast e ^ {- i \ omega_p t} $$

ความเป็นอิสระเชิงเส้นของ exponentials แล้วให้ $ a _ {- \ mathbf {p}} = b {{mathbf {p}} ^ \ ast $ และ $ b _ {- \ mathbf {p}} = a _ {\ mathbf {p} } ^ \ AST $ ตอนนี้คุณมีแล้ว

$ \ hat {\ phi} (\ mathbf {p}, t) = a_pe ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ {i \ omega_p t} $$

ใช้ Fourier inversion เพื่อรับ

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- i \ omega_p t} + a _ {- p} ^ \ ast e ^ { i \ omega_p t}) e ^ {i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} $$

ถ้าคุณเปลี่ยนตัวแปรในระยะที่สองทำให้ $ p \ to -p $ ตั้งแต่ $ \ omega _ {- p} = \ omega_p $ คุณจะได้สูตร

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} (a_p e ^ {- ipx} + a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

$ \ sqrt {2 \ omega_p} $ จะถูกรวมเพื่อความสะดวกในการรับผลลัพธ์ที่คงที่ของ Lorentz (เป็นจำนวนเงิน redefinition ของ $ a_p $) คำตอบสุดท้ายคือ

$$ \ phi (x) = \ int \ dfrac {d ^ 3 p} {(2 \ pi) ^ 3} \ dfrac {1} {\ sqrt {2 \ omega_p}} (a_p e ^ {- ipx} a_p ^ \ ast e ^ {ipx}). $$

โปรดเข้าใจว่านี่ไม่ได้ derive การเป็นตัวแทนของ Fock space นี่เป็นเพียงการคำนวณแบบคลาสสิคซึ่งจะช่วย motivates การสลายตัวของโหมดในแง่ของตัวดำเนินการ Fock space ladder

โดยวิธีการที่มีวิธีการทำความสะอาดและสง่างามมากขึ้นกับการแปลงฟูริเยร์กาลอวกาศที่สามารถพบได้ในคำถาม คำถามเกี่ยวกับการใช้การสลายตัวฟูริเยร์เพื่อแก้สมการ Klein Gordon


Y2H 05/28/2017.

ฉันคิดว่าฉันรู้ว่าปัญหาของคุณคืออะไร คุณลืมว่าการพึ่งพาเวลาอาจเป็นนัยและไม่จำเป็นต้องมีเพียงอย่างชัดเจนเท่านั้น ตัวอย่างเช่น $ \ psi $ อาจขึ้นกับเวลาเพราะ $ x $ และ / หรือ $ p $ ขึ้นอยู่กับเวลา ในกรณีนี้อนุพันธ์จะไม่เป็นศูนย์

นอกจากนี้คำนิยามจะต้องถูกต้องในทั้งสองภาพเนื่องจากการได้มาซึ่งฟังก์ชันเกี่ยวกับเวลาจะเหมือนกันในการแสดงเมทริกซ์เนื่องจากเป็นตัวดำเนินการด้วยความเคารพต่อเวลา

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags