สัญชาตญาณในการก่อสร้าง GNS และวิธีการที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ควอนตัมตามปกติ

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

อ่านเอกสารฉบับหนึ่งการ ก่อสร้าง GNS มีดังต่อไปนี้:

เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำว่าผล (ทฤษฎีบท) เนื่องจาก Gel'fand, Naimark และ Segal (GNS) กำหนดว่าสำหรับ $ \ omega $ เมื่อ $ \ mathcal {A} $ มีอยู่เสมอแทน $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ จาก $ \ mathcal {A} $ และ $ \ Phi_ \ omega \ in \ mathfrak {h} _ \ omega $ (โดยปกติจะเรียกว่า cyclic vector ) เช่น $ f_ \ omega (\ mathcal {A}) \ Phi_ \ omega $ เป็นจำนวนมากใน $ \ mathfrak {h} _ \ omega $ และ $ \ omega (A) = \ langle \ Phi_ omega | ฉ _ {\ omega} (\ mathcal {A}) | \ Phi_ \ omega \ rangle $ นอกจากนี้ GNS ผลใบสำคัญแสดงสิทธิที่ถึงความเท่าเทียมกัน $, $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ เป็นตัวแทน cyclic ที่ไม่ซ้ำกันของ $ \ mathcal {A} $

ตอนนี้การคำนวณทางคณิตศาสตร์มีทฤษฎีบทและหลักฐานตรงกัน ประเด็นของฉันไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้ จุดของฉันที่นี่คือการพูดถึงสัญชาตญาณเกี่ยวกับการก่อสร้างครั้งนี้จากมุมมองของฟิสิกส์

ดังนั้นสิ่งแรกที่ทำให้ฉันสับสน: ใน $ C ^ \ ast $ - เกี่ยวกับพีชคณิตฉันคิดว่าแต่ละรัฐ $ \ omega: \ mathcal {A} \ to \ mathbb {R} $ เป็นคู่ของ ket $ | \ phi \ rangle $ ในรูปแบบดั้งเดิม

เราเห็นในการก่อสร้าง GNS แม้ว่า แต่ละรัฐ $ \ omega $ induces หนึ่งแทน กล่าวอีกนัยหนึ่งแทนที่จะมีสำหรับแต่ละ $ \ omega $ one ket เรามีพื้นที่ทั้งหมดของ Hilbert $ \ omega $ หนึ่ง

มากกว่านั้นเรามีสภาพเวกเตอร์เป็นวัฏจักรซึ่งร่างกายไม่เข้าใจ

ดังนั้นคำถามของฉันคือสิ่งที่เป็นสัญชาตญาณในการก่อสร้าง GNS จากฟิสิกส์มุมมอง? รัฐ $ \ omega $ จากวิธีเกี่ยวกับพีชคณิตเกี่ยวข้องกับ kets $ | \ psi \ rangle $ (state vectors) ในวิธีแบบดั้งเดิม? สภาพเวกเตอร์แบบ cyclic คืออะไรจากมุมมองทางกายภาพ?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

แนวคิดพื้นฐานของการก่อสร้าง GNS คือการที่คุณใช้สถานะเดี่ยว (มักจะเป็นสุญญากาศถ้าเราทำงานในพื้นที่ราบ) เพื่อสร้างพื้นที่ทั้งหมดของ Hilbert นี้แน่นอนที่เกี่ยวข้องกับวงจร: ชุดของพาหะทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยการกระทำของพีชคณิตเกี่ยวกับสูญญากาศที่มีความหนาแน่นสูงในพื้นที่ที่เกิดฮิลแบร์ ดังนั้นเพื่อสร้างพื้นที่ Hilbert เต็มเพียงสมัครสมาชิก $ C ^ * $ - พีชคณิตเพื่อสร้างเซตย่อยที่หนาแน่นของพื้นที่ Hilbert แล้วทำ Cauchy เสร็จของผู้สร้างพื้นที่เต็ม Hilbert

วิธีง่ายๆในการกลับมาเป็นตัวแทนตามปกติในฐานะพื้นที่ของฮิลแบร์ตคือการพิจารณาผลิตภัณฑ์ของสมาชิกสามคนในพีชคณิตแล้วการเป็นตัวแทนของพวกเขาจะเท่ากับ $ \ pi $ เนื่องจากผู้ประกอบการพื้นที่ของฮิลแบร์ตจะกลายเป็น

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ omega, \ pi (ABC) \ omega \ rangle $$

จากนั้นคุณก็สามารถกำหนดสถานะ $ \ vert \ psi \ rangle = \ pi (C) \ vert \ omega \ rangle $ และ $ \ vert \ phi \ rangle = \ pi (A) \ vert \ omega \ rangle $ แล้ว รัฐของคุณจะกลายเป็น

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ phi, \ pi (B) \ psi rangle $$

นี่เป็นช่วงเวลาปกติระหว่างสองรัฐ

ตัวอย่างง่ายๆของการนี้คือการพิจารณาตัวสร้างและการทำลายล้างบนสูญญากาศ พวกเขาสร้างรูปแบบพีชคณิต $ C ^ * $ และสามารถทำหน้าที่ในสถานะสูญญากาศเพื่อสร้างสถานะจำนวนใด ๆ ที่จะสร้างพื้นที่ Hilbert ในอีกแง่หนึ่งไม่มีการใช้ตัวดำเนินการสร้างใด ๆ ในสูญญากาศจะให้สถานะที่กำหนดโดยรัฐ Fock

$$ \ vert 1,1,1,1,1, .... \ rangle $$

ถ้าเราใช้สถานะนี้เป็นพื้นฐาน $ \ omega $ เราจะมีทฤษฎีที่ไม่เท่าเทียมกันโดยสิ้นเชิง


ACuriousMind 06/13/2017.

ในลำดับที่กลับ:

  1. วงจรควรได้รับการพิจารณาว่าเป็นสภาพการลดลงไม่ได้ สังเกตว่าทุกเวกเตอร์ของการแทนที่ลดลงเป็นวัฏจักรและดังนั้นการดำรงอยู่ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่วัฏจักรจะบ่งบอกถึงความสามารถในการลดลง ดังนั้นจึงไม่มีความสำคัญกับความเป็นวัฏจักรเกินกว่าความคิดปกติในการศึกษาการเป็นตัวแทนที่ลดลงได้ทั้งหมดเนื่องจากข้อมูลเหล่านี้ประกอบด้วยข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเกี่ยวกับพีชคณิต ด้านหนึ่งที่อาจกล่าวถึงก็คือวงจรความต้องการทำให้การก่อสร้างของ GNS มี unique - อาจมีช่องว่างจำนวนมากที่สถานะนามธรรมใด ๆ จะถูกแทนด้วยเวกเตอร์ แต่การแสดงออกทั้งหมดที่เป็นวงกลมมีลักษณะเป็นหน่วย isomorphic

  2. ความสัมพันธ์ระหว่างรัฐและเวกเตอร์คือต่อไปนี้: ในทิศทางหนึ่งจากเวกเตอร์ไปยังสถานะเรามีที่สำหรับการแทนทุก $ \ rho: \ mathcal {A} \ to \ mathrm {B} (H) $ ในพื้นที่ Hilbert $ $ \ mathrm {B} (H) $ และทุกเวกเตอร์ $ v \ in H $, $ \ mathcal {A} \ to \ mathbb {C}, A \ mapsto \ langle v \ vert \ rho (A) \ vert v \ rangle $ เป็นสถานะในนามธรรม ตรงกันข้ามมันเป็นจุดที่ก่อสร้าง GNS ที่ทุกรัฐนามธรรมสามารถหาพื้นที่ Hilbert เช่นว่ารัฐจะได้รับโดยเวกเตอร์ในพื้นที่ที่ในความรู้สึกที่

  3. ฉันมองไม่เห็นอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ (และฉันรู้สึกงงงงว่าคุณต้องการสัญชาตญาณแบบไหนสำหรับนามธรรม $ C ^ \ ast $ -algebras) แต่ทางกายภาพการสร้าง GNS ยืนยันว่านามธรรม $ C ^ \ ast $ - เกี่ยวกับพีชคณิต มุมมองและวิธีการดั้งเดิมที่เริ่มต้นด้วยพีชคณิตของ observables บนพื้นที่ของ Hilbert มีค่าเท่ากัน: ผลรวมโดยตรงจากการแทน GNS ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับสถานะของ (พีชคณิต) ของพีชคณิต $ \ mathcal {A} $ เป็นความซื่อสัตย์และการมีมิติเท่ากันนั่นเอง คือพีชคณิตนามธรรมคือ isometrically isomorphic กับพีชคณิตของตัวดำเนินการล้อมรอบในพื้นที่ Hilbert ที่ ดังนั้นจึง no difference in the outcomes ว่าเราใช้มุมมอง "นามธรรม" หรือ "คอนกรีต" นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบท Gel'fand-Naimark


user154997 06/13/2017.

ในฐานะนักฟิสิกส์ฉันเข้าใจ GNS ดังต่อไปนี้

เวอร์ชั่นสั้น

ให้ค่าที่สังเกตได้และค่าสมมาตรเราสามารถสร้างระบบ QM ใหม่ที่มีพื้นที่ของฮิลแบร์ตเป็นคำนิยามของค่าคาดการณ์ว่าเป็น "แซนด์วิช" และการแสดงสมมุติฐานแบบปกติ

เป็นทางการมากขึ้น

เราให้ตัวเอง

  • พีชคณิต $ \ mathcal {A} $ stable ภายใต้ $ A \ mapsto A ^ * $: เหล่านี้จะถูกระบุด้วยตัวดำเนินการของเรา
  • ฟังก์ชัน $ \ omega $ เชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อนกับแต่ละองค์ประกอบของพีชคณิตนั่นคือค่าที่คาดหวังของโอเปอเรเตอร์
  • กลุ่มสมมาตร $ G $ ทำหน้าที่ในพีชคณิตที่ว่า
    • ความสมมาตร $ s $ satisfies $ s (AB) = s (A) s (B) $,
    • และจะออก $ \ omega $ invariant: $ \ omega (s (A)) = \ omega (A) $.

จากนั้น GNS จะสร้าง:

  • พื้นที่ Hilbert $ \ mathcal {H} $,
  • เวคเตอร์สูญญากาศ $ \ mid 0 \ rangle $,
  • การแทน $ \ phi $ ของพีชคณิต $ \ mathcal {A} $, เช่นการแม็ปจาก $ \ mathcal {A} $ ไปยัง $ \ mathcal {H} $ เช่น $ \ phi (AB) = \ phi (A) \ phi (B) $, ซึ่งนอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติที่คาดหวังขององค์ประกอบ $ A \ in \ mathcal {A} $ เป็นความคาดหวังควอนตัมของ $ \ phi (A) $: $$ \ omega (A) = \ langle 0 \ mid \ phi (A) \ mid 0 \ rangle $$
  • การรวมตัวกันของกลุ่มสมมาตรซึ่งนำความสมมาตรในพื้นที่ของฮิลแบร์ตคือแต่ละ $ s \ in G $ มีส่วนเกี่ยวข้องกับโอเปอเรเตอร์ unitary $ U_s $ ในพื้นที่ Hilbert เช่น $$ \ phi (s) = U_s \ พี (A) U_s ^ * $$

ความเป็นวัฏจักรของสูญญากาศ

รุ่นสั้นคือโดยการใช้ตัวแทนทั้งหมดในการสูญญากาศที่เราได้รับเกือบทุกองค์ประกอบของ $ \ mathcal {H} $ รุ่นที่เข้มงวดว่า $ \ left \ {\ phi (A) \ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal {A} \ right \} $ มีความหนาแน่นมากใน $ \ mathcal {H} $

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags